GEOMETRES
GEOMETIIES GEOMETRA 2, GEOMETER3 (ye(spié'rPY)ç) 4.
I. Géomètre, celui qui pratique ou qui enseigne la
On trouve aussi ce mot employé pour nommer des ingénieurs et constructeurs de machines et, dans cette acception, accolé aux autres termes qui les désignent,
GEOMETI1Ie (Pe(op.s'rpia). I. Géométrie théorique.
Dès le milieu du ve siècle avant notre ère, Hippocrate de Chios enseignait à Athènes la géométrie et obtenait de ses élèves une rémunération suffisante. Un important fragment d'un écrit de cet Hippocrate 1 nous atteste que dès lors l'enseignement avait revêtu la forme devenue traditionnelle après Euclide, et que, quoique présentant sans doute des lacunes sensibles, les connaissances géométriques dépassaient déjà le niveau élémentaire proprement dit. Les problèmes dont la solution rigoureuse est impossible avec la règle et le compas, commencent d'ailleurs à être agités dès cette époque et ils deviennent bientôt assez célèbres, même dans le grand public, pour qu'Euripide 2 fasse allusion à la duplication du cube, Aristophane 3 à propos de ➢Téton, à la quadrature du cercle.
Comment la science était-elle parvenue à cet âge déjà adulte? Quelles en avaient été les véritables origines? Pour répondre à ces questions, nous ne trouvons guère que des légendes ; déjà Hérodote ° raconte que la géométrie a pris naissance chez les Égyptiens, pour la mesure des lots de terre que modifiaient sans cesse les débordements du Nil. Mais si ce récit est d'accord avec l'étymologie du mot géométrie, il n'explique pas comment on s'était élevé des simples opérations d'arpentage à des spéculations purement théoriques, que l'auteur de l'Epinomide 5 trouvait déjà ridicule de désigner sous le
même nom. Nous en savons assez aujourd'hui sur. la prétendue géométrie égyptienne 5 pour pouvoir affirmer que ses procédés grossiers et inexacts n'ont rien à faire avec la science grecque, qui lui a au plus emprunté le terme technique de pyramide (le radical de ce terme, pir-e-mus, est en effet égyptien et signifie proprement arête). Quant à Thalès de Milet, qui aurait importé la géométrie d'Égypte en Grèce, on ne peut lui attribuer avec quelque probabilité suffisante que deux ou trois pratiques élémentaires, conservées par une tradition que nous ne pouvons suivre, puisqu'il n'y a aucune trace d'écrits géométriques qu'il aurait composés. D'autre part, si chez les Chaldéens les connaissances géométriques pratiques avaient dû, comme chez les Égyptiens, se développer en rapport avec le degré de leur civilisation, si peut-être leurs croyances astrologiques les avaient amenés à étudier géométriquement les mouvements célestes, ils semblent bien plutôt, soit d'après les témoignages de l'antiquité, soit d'après les textes cunéiformes, avoir travaillé sur les nombres que sur les figures, et aucun indice sérieux ne permet de supposer que les Grecs aient davantage trouvé de ce côté la source de leur science théorique.
Une autre légende, plus consistante malgré l'invraisemblance de certains détails, rapporte l'origine de la géométrie à l'ancienne école pythagorienne et en particulier à Pythagore lui-même ; car les membres de l'école semblent s'être assez bien accordés pour faire remonter jusqu'au maître nombre de connaissances dont l'acquisition paraîtrait plutôt avoir exigé les efforts de plusieurs générations. D'après les notices que Proclus (dans son Commentaire sur Euclide, écrit au ve siècle de notre ère) a dû emprunter à Geminus (Théorie des mathématiques, ouvrage perdu composé vers la fin du i siècle av. J.-C.)
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et que celui-ci avait tirées de l'histoire géométrique d'Eudème de Rhodes, disciple immédiat d'Aristote, on attribuait aux Pythagoriens, vers la fin du ive siècle av. J.-C., un ensemble de théories qui ne remplit pas tout à fait le cadre des Éléments d'Euclide, mais qui le dessine suffisamment et qui comprend notamment la reconnaissance de l'existence des quantités incommensurables et la construction des cinq polyèdres réguliers. D'autre part, d'après Jamblique', ces deux découvertes capitales auraient été publiées par Hippasos, disciple immédiat de Pythagore, et on lui en aurait attribué la gloire ; mais il aurait péri dans un naufrage, en punition de l'impiété commise en révélant ce secret. Si cette légende est plus que suspecte à divers titres, elle atteste au moins la croyance générale à l'antiquité des découvertes. Il semble en tout cas qu'Eudème avait réellement entre les mains une isiopfa ^r; bç IIuO« 'pou (tradition venant de Pythagore) qui traitait de la géométrie et qu'il considérait comme antérieure aux écrits d'Hippocrate de Chios. Une autre légende pythagorienne 2, supposant également l'invraisemblable secret primitivement imposé aux membres de l'école sur les découvertes géométriques du Maître, admet que la révélation en aurait été autorisée pour procurer des ressources pécuniaires. Ce récit ne peut être invoqué que comme seconde preuve que d'assez bonne heure l'enseignement de la géométrie fut rémunérateur en Grèce, car s'il peut (ce qui est douteux) se rapporter à l'histoire réelle d'Hippocrate de Chios, il est en tous cas à peu près certain que ce dernier devait avoir été formé par OEnopide de Chios, connu comme astronome, lequel fonda dans sa patrie une école qui se perpétua assez longtemps 3, mais sur laquelle nous n'avons que des renseignements tout à fait insuffisants. D'autre part, il faut écarter la pensée qui pourrait venir, précisément à la suite de ce rapprochement, que l'étude de la géométrie aurait été provoquée par celle des phénomènes célestes ; il faut en effet remarquer que la théorie proprement dite de la sphère (quoiqu'au reste également attribuée à Pythagore), a toujours, dans l'antiquité, été considérée comme faisant partie de l'astronomie et qu'en dehors de la mesure du volume et de l'inscription des polyèdres réguliers, elle se trouve, à ce titre, exclue des Éléments d'Euclide. En résumé, les origines véritables de la géométrie théorique chez les Grecs restent passablement obscures; on peut simplement en dire que le goèt pour l'étude des propriétés des figures paraît un trait caractéristique de la race grecque, et que cette science, comme la plupart des autres, se développa en certains points particuliers de la côte et des îles d'Asie-Mineure, d'un côté, de la Sicile et de l'Italie, de l'autre, avant de trouver dans Athènes un foyer brillant où elle commença à attirer l'attention générale. Si la part que prit Pythagore à sa constitution fut probablement assez considérable, elle ne peut être exactement délimitée.
De même que pour l'ancien sage de Samos, une légende se forma plus tard sur le nom de Platon, dont on fit le chef d'une véritable école scientifique, les géomètres de l'Académie. Il est certain que Platon4 montre pour les mathématiques pures une prédilection très marquée, qu'il en recommande vivement l'étude et que la tradition
de considérer la géométrie comme une connaissance indispensable au philosophe se perpétua dans son école. Cette circonstance a eu une importance considérable, parce que dans toute l'antiquité grecque après le ive siècle, et plus tard chez les Romains, l'étude, plus ou moins approfondie, des Éléments d'Euclide fit par suite nécessairement partie de l'éducation classique, et que dès lors, chez nombre de polygraphes (Plutarque, par exemple), on rencontre des allusions à certaines vérités géométriques ou même certains développements dont, de nos jours, un écrivain du même genre s'abstiendrait soigneusement. Mais s'il faut, d'après cette prédilection de Platon pour les mathématiques, supposer qu'il était au courant de la science de son temps, il y a loin de là à en faire un véritable mathématicien et à lui attribuer un rôle réellement important dans les progrès réalisés de son vivant. Des deux découvertes particulières qui lui sont attribuées, par des témoignages d'ailleurs sans authenticité suffisante une seule concerne la géométrie ; c'est une solution mécanique du problème de la duplication du cube, assez élégante, mais précisé-. ment contraire au rôle que lui donne la légende. (l'autre est une généralisation facile d'une proposition arithmétique attribuée à Pythagore). Quant à l'analyse géométrique, il n'en est certainement pas l'inventeur, car dès que l'on a cherché à résoudre des problèmes de géométrie, on a fait de l'analyse. Platon a plutôt essayé de tirer, des procédés des géomètres, des formes de raisonnement applicables en philosophie.
Sous le nom de géomètres de l'Académie, on a d'ailleurs réuni tous ceux du ive siècle; mais le grand mathématicien de l'époque, le véritable chef d'école, fut Eudoxe de Cnide, qui, sans parler ici de ses travaux astronomiques, donna la forme définitive de la théorie de la similitude, et parvint à mesurer le volume de la pyramide, du cône et de la sphère, en employant la méthode de réduction à l'absurde et les principes dont Archimède devait faire un si brillant usage'; Eudoxe commença enfin probablement l'étude des sections planes du cylindre et du cône 7, dont la théorie fut développée par son élève Ménechme. Théétète d'Athènes, ami, mais non disciple de Platon, constitua la doctrine des irrationnelles et celle des polyèdres réguliers s. Désormais le cadre géométrique des Éléments était réellement rempli. Il est très probable qu'il en était de môme pour l'importante partie arithmétique de cet ouvrage; mais nous n'avons à cet égard aucun renseignement précis.
Athènes ne devait pas rester longtemps à la fois le centre des études mathématiques, et celui de l'enseignement philosophique; dès le commencement du me siècle, c'est Alexandrie qui attire et retient les géomètres; c'est là qu'Euclide compose les XIII livres de l'ouvrage, devenu rapidement classique, qui a immortalisé son nom (quoiqu'il n'y ait fait, comme je l'ai indiqué, que rédiger les découvertes de ses précurseurs); c'est là qu'il écrivit également nombre d'autres livres, dont nous n'avons pas les plus intéressants, ceux qui représentaient surtout son oeuvre personnelle, notamment ses Porismes où, d'après la divination de Chasles, il aurait devancé les recherches modernes de géométrie supérieure; c'est aussi à Alexandrie qu'un siècle environ après Euclide, Apollo
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nius de Perge, le grand géomètre, rédige ses Coniques, oà il reprend et transforme la théorie de ces courbes, et, que dans d'autres ouvrages très nombreux, mais malheureusement perdus, il aborde les recherches les plus diverses.
En dehors d'Alexandrie, on ne trouve guère qu'un seul mathématicien; à la vérité, c'est Archimède, dont la plupart des écrits géométriques semblent heureusement nous avoir été conservés et permettent d'apprécier pleinement le génie extraordinaire. Mais à côté des noms que nous ne pouvions ne pas citer, l'école d'Alexandrie en présente, comme auparavant celle d'Athènes, nombre d'autres plus ou moins marquants, qui attestent la plissante vitalité de la science.
Vers le milieu du lie siècle avant notre ère, le mouvement en avant semble arrêté ; les génies créateurs font défaut, le nombre des géomètres paraît diminuer. Sous la domination romaine, l'enseignement de la science reste en honneur, mais il prend de plus en plus un caractère classique, et sauf à Alexandrie, semble en général devenir superficiel. Surtout chez les Romains, on se contente d'apprendre par coeur les définitions et les énoncés des propositions et c'est ainsi que peu à peu se forma cette légende qui eut cours pendant le moyen âge et que quelques érudits de la Renaissance accueillirent aveuglément, à savoir qu'Euclide aurait composé seulement les énoncés des propositions, que les démonstrations auraient été ajoutées (comme commentaires) par Théon d'Alexandrie (fin du ive siècle). Ce dernier, en réalité, s'était borné à donner une nouvelle édition des Eléments, en y apportant quelques légers changements.
Il y a d'autre part, à la même époque, une tendance à constituer l'enseignement de l'application pratique des théorèmes relatifs à la mesure des surfaces et des volumes. L'ouvrage des METïo de Héron d'Alexandrie semble, d'après les dernières recherches sur les dates de la vie de cet auteur, avoir été composé vers le ne siècle de notre ère'. S'il est perdu, il en subsiste des adaptations partielles ou des extraits que les Byzantins ont à leur tour imités ou remaniés, en conservant toujours le nom de Héron'; ce nom acquit ainsi, pour cette partie de la science, au moins dans le monde grec, la même célébrité que celui d'Euclide pour la géométrie pure.
L'âge des commentateurs et des compilateurs est venu; le plus notable est Pappus d'Alexandrie (vers la fin du lue siècle) ; sa Collection mathématique 3 est un recueil très varié de travaux antérieurs et une source capitale pour la connaissance de la géométrie grecque. C'est à lui que nous devons ce que nous pouvons savoir des travaux perdus et en particulier d'un ensemble d'ouvrages d'Euclide, d'Apollonius, etc., relatifs à la géométrie supérieure ou à ce que les anciens appelaient
le Td7Toç âv«audIIEVOç. L'étude de cet ensemble paraît à
cette époque avoir encore été poursuivie méthodiquement par les philosophes (car tous les savants prenaient désormais ce nom) qui avaient quelque goût particulier pour la géométrie.
D'autres renseignements historiques nous viennent du prolixe commentaire de Proclus que j'ai déjà mentionné et dont nous n'avons que la partie concernant le premier livre des Eléments d'Euclide. II avait utilisé, outre
Geminus, les travaux de commentateurs précédents, Héron, Porphyre et Pappus. Héron lui-même avait peutêtre suivi le mécanicien Philon de Byzance (vers le me siècle avant notre ère), qui aurait ainsi été le premier commentateur d'Euclide.
Les écrits d'Archimède et d'Apollonius nous sont parvenus avec des commentaires dus à Eutocius d'Ascalon, qui vivait à Alexandrie vers le commencement du vie siècle. Eutocius, peut-être chrétien (une de ses dédicaces est adressée à un HéT1oç), avait suivi (comme Jean Philoponos) les leçons d'Ammonius, fils d'Hermias, qui, à la différence de son maître Proclus et des fanatiques successeurs de ce dernier à l'école d'Athènes, avait su se plier aux nécessités des nouveaux temps. D'un autre côté, Eutocius est lié avec Anthémius, c'est-à-dire en relation avec la brillante école d'ingénieurs (lJ.exavtxoO qui illustra le règne de Justinien. C'est à cette école que nous devons la conservation des monuments de la géométrie grecque ; en particulier un des deux Isidores de Milet surveilla l'édition d'Archimède qui nous est parvenue, ecce fut par un (ou plusieurs) de ses disciples que fut écrit le dernier livre (le XVe) ajouté aux Éléments d'Euclide. Le XIVe est dû à Hypsiclès d'Alexandrie (vers le commencement du lie siècle avant notre ère).
En résumé, l'école d'Alexandrie resta active jusqu'à la fin des temps antiques ; les néoplatoniciens d'Athènes, quoique le successeur immédiat de Proclus, Marinus de Néapolis, ait écrit une préface aux Données d'Euclide, et quoique Simplicius ait à son tour composé sur les Eléments un commentaire dont les Arabes ont gardé quelques traces, n'ont produit aucun ouvrage de valeur. Il ne semble y avoir jamais eu un autre centre où l'enseignement de la géométrie ait été sérieusement constitué.
En faisant abstraction des mouvements fanatiques de la populace, comme l'incendie du Sérapéum par les chrétiens en 389 ou le massacre en 415 de la malheureuse Ilypatia (qui avait, avant Eutocius, commenté Apollonius) G, le milieu d'Alexandrie paraît avoir été relativement tolérant. Ces actes sauvages ne doivent pas faire croire à une hostilité systématique des chrétiens contre la science et en particulier contre la géométrie. Celle-ci, malgré les apparences, ne fut jamais le monopole de l'école philosophique des néoplatoniciens. Un contemporain de Pappus, Anatolius, qui fut évêque de Laodicée, avait composé sur les mathématiques, dans le goût du temps, un ouvrage de vulgarisation considérable, dont des extraits intéressants nous ont été conservés s. Il y a même un indice sérieux qui pourrait faire croire que Pappus aurait, à une certaine époque de sa vie, été affilié à une secte chrétienne. C'est la teneur du serment qui est mis sous son nom dans la Collection des
alchimistes grecs 7.
Dans l'Occident latin, nous voyons, par Martianus Capella, que si la géométrie formait une des branches du quadrivium classique, l'enseignement, ainsi que nous l'avons déjà dit, était à peu près simplement mnémonique. On attribue à Boèce d'avoir traduit Euclide; mais s'il l'a fait, il est douteux qu'il ait mis autre chose en latin que les définitions et l'énoncé des propositions des premiers livres. En tous cas 8, on ne trouve guère davantage dans
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l'Ars geometriae qui nous est parvenu sous son nom, et dont l'authenticité, au moins sous la forme actuelle, est au moins improbable. Après l'invasion des Barbares, il ne resta plus au reste que la connaissance de quelques termes techniques et de certaines opérations pratiques, consignés dans les écrits conservés des agrimensores romainsLeur importante corporation avait naturellement fait quelques emprunts à la science grecque; mais elle avait précédé Héron d'Alexandrie et l'avait rendu inutile pour l'Occident latin.
II. Géométrie appliquée. Tout en laissant de côté les diverses applications de la géométrie, dont il est traité dans d'autres articles de ce Dictionnaire, il convient d'examiner ici, à un point de vue général, quelle a été la part relative de l'influence, sur les arts antiques, des connaissances théoriques qui se sont développées d'une façon si caractéristique et si brillante que l'on a pu qualifier la géométrie de science grecque par excellence.
La question peut se poser sous une forme plus spéciale. A quelle époque a-t-on commencé à faire des épures, c'est-à-dire des tracés géométriques que l'on s'efforce de rendre aussi exacts que possibles? On a mis en doute que les anciens en aient fait et il est certain que leur architecture est conçue suivant des nombres (proportions, rapports au module), non suivant des formes, comme l'est, au contraire, celle du moyen âge. Les constructeurs de l'antiquité pouvaient donc se passer d'épures et il semble bien que, dans la plupart des cas, ils s'en soient réellement passés. Il est cependant évident que, dans d'autres cas particuliers, comme pour l'établissement de cadrans solaires par exemple, des épures étaient nécessaires et que, d'après les monuments de ce genre qui nous restent, les solutions devaient, sinon exiger des connaissances théoriques approfondies, au moins reposer sur de telles connaissances [IlonoLOGIUMI. Les charpentes paraissent également avoir été de bonne heure assez compliquées pour demander un tracé d'épure. Il est infiniment probable d'un autre côté que, malgré l'apparence purement théorique de nombre des solutions anciennes que nous possédons du problème de la duplication du cube, l'origine de cette célèbre question a été un desideratum de la pratique, et fait supposer dès lors l'habitude de constructions géométriques rigoureuses, puisque, par le calcul, on pouvait sans la moindre difficulté obtenir toute l'approximation désirable. Lorsque l'on voit d'autre part des solutions géométriques du même problème insérées dans des ouvrages de Philon ou de Héron destinés aux p.-i m xoi (constructeurs) 2, on ne peut douter qu'elles aient été mises réellement en pratique.
L'invention de la quadratrice (TETparivi oura) qui remonte aussi au ve siècle avant notre ère (Hippias d'ÉIis) conduit à la même conclusion Cette fois, il s'agit d'une courbe destinée à résoudre, moins le problème de la quadrature du cercle, comme l'indiquerait son nom, que celui de la division de l'angle en un nombre donné
quelconque de parties égales. Cette courbe pouvait être tracée par points et taillée suivant un patron pour servir, comme nous employons aujourd'hui le rapporteur, au même but.
Quant aux sections coniques, nous n'avons pas de preuve de la construction d'un appareil (acas;-ilTrl6) pour les tracer d'un mouvement continu avant Isidore de Milet qui, au moins pour la parabole, imagina un tel instrument". Si nous pouvons constater d'autre part dans Proclus la connaissance antérieure de théorèmes pouvant être appliqués à la construction de l'ellipse il n'en est pas moins probable que Ménechme (au Ive siècle) ne savait encore construire les coniques que par points; cependant il est possible qu'il ait proposé de les obtenir mécaniquement par la section réelle de cônes matériels que l'on pouvait tailler exactement sur le tour. C'est dans le même sens que peut être interprétée la solution d'Archytas pour la duplication du cube au moyen de l'intersection de surfaces
Une autre application pratique de la géométrie nous a été révélée par la traduction récente sur le texte arabe des Mécaniques de Héron d'AlexandrieIl.s'agit de la reproduction à une échelle différente soit d'une figure plane, soit d'une forme solide (en creux ou en relief), au moyen d'instruments dont la description est malheureusement obscure ; l'usage du second (pour les solides) semble avoir dei en particulier être assez incommode. Cependant ce n'était certainement pas une conception purement théorique et il serait intéressant de rechercher si parmi les statues ou objets d'arts antiques, il n'y en a point qui paraissent la réduction mécanique les uns des autres. Il y aurait lieu, dans le cas de l'affirmative, d'étudier le degré d'exactitude de cette réduction.
L'appareil de reproduction pour les dessins plans était constitué de deux roues concentriques dentées actionnant deux crémaillères parallèles et portant des pointes maintenues par un guide en glissières sur une même droite avec le centre des roues. Pour les formes solides, voici le principe de l'appareil. Une tige flexible en étain est montée sur un trépied articulé (comme celui de nos appareils de photographie) et peut ainsi être rapportée à un triangle de base déterminée ; l'extrémité de cette tige est amenée en contact avec le point de l'objet dont on veut trouver l'homologue. Déplaçant momentanément l'appareil (que l'on remettra pour un autre point à sa place repérée), on pose le pied sur une tablette horizontale assemblée par charnière avec une autre tablette mobile; on amène cette dernière en contact avec l'extrémité de la tige flexible. Cette extrémité, avec les trois sommets du triangle de base, constitue un tétraèdre, avec lequel il est facile de construire, sur les deux tablettes, un tétraèdre semblable suivant un rapport donné. Avec un second instrument à tige flexible (sur trépied articulé) on peut alors repérer les sommets de ce tétraèdre et le reporter sur place. PAUL TANNEIY.
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