ARITIIMETICA( tptOts rtx'j,),oytcctxni).-Chez les anciens, la théorie des nombres portait proprement le nom de «pt0(erirtx , tandis que l'arithmétique pratique, le calcul, était désigné généralement, dès l'époque de Platon, par le mot noyt'rtxri'. C'est surtout à la logistique que nous nous attacherons ici. Nous exposerons séparément l'arithmétique chez les Grecs et chez les Romains. Cette distinction est fondée uniquement sur la différence du mode de numération, car il est évident que les données fondamentales de la science ne sauraient varier avec les latitudes. Les anciens sont unanimes pour attribuer à Pythagore et à ses premiers disciples, sinon l'invention des règles de l'arithmétique, tout au moins l'ordre et la forme scientifique qu'elles ont reçus chez les théoriciens La place de l'arithmétique dans l'instruction publique des Grecs et des Romains était à peu près celle que nous lui faisons aujourd'hui, en ce sens qu'elle figurait, dans l'enseignement primaire à côté de la lecture et de l'écriture. Platon lui conserve ce rang dans sa République'. Saint Augustin raconte l'impression fastidieuse que lui avait 54 ARl 426 -AR1 causée dans son enfance ce chant monotone, unum et unum sunt duo, etc., un et un font deux, deux et deux font quatre, psalmodié encore de nos jours dans une grande partie de nos écoles publiques. Arithmétique chez les Grecs. Les noms de nombres étaient l'unité, µov«s, singularis (numerus)la dizaine (Sax«s) devenus, la centaine, €xzzoasés, contenus, le millier, zt),t«s et xt),roatéç, millenus, et les dix-mille, yupt«s, deeies millenus. Arrivé là on comptait par dizaines de myriades, centaines de myriades, milliers de myriades et myriades de myriades (cent millions) ; le milliard se disait dix myriades de myriades, et dix trillions ou dix mille milliards, une myriade de myriades de myriades. Apollonius de Perge simplifiait le terme myriade de myriades, en disant myriade double et désignait le nombre par deux p.; de même la myriade de myriades de myriades prenait le nom de myriade triple. C'est ainsi que nous donnons aux nombres carrés l'exposant 2, aux cubes l'exposant 3, etc. On voit que depuis 1 jusqu'à la myriade exclusivement, le nombre peut avoir quatre chiffres, depuis la myriade jusqu'à la double myriade exclusivement quatre nouveaux chiffres. Cette série de quatre chiffres ou tétrade (-rates, quaternio) formait ce que l'arithmétique moderne appelle quelquefois classe ou tranche; seulement le groupe dans notre numération ne comprend que trois chiffres. Au lieu des caractères 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 les Grecs employaient pour ex primer les unités, les lettres a, 3, y, S, a, ç, , v;, 0 Pour les dizaines, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 t, x, o, t, 9 P our les centaines, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 0, a, u, y", 7, 5J, is) Tels étaient les seuls caractères numériques employés par les Grecs. Pour distinguer les chiffres alphabétiques des lettres proprement dites, on traçait sur les premiers un trait horizontal, ou du moins c'est le signe distinctif que renferment les manuscrits. Quant à l'accent aigu, on verra plus loin quelle en était la destination en arithmétique. Les neuf premiers recevaient une sorte d'iota souscrit, placé un peu à gauche pour désigner 1,000, 2,000, etc. Arrivé à 10,000, on a 1 myriade, µupt«s; on l'exprimait par un m surmonté le plus souvent d'un a, 'j, 20,000 (ou 2 myriades) avait pour signe M, 30,000 j\'l, et ainsi des au tres myriades jusqu'à la 9,999e qui s'écrivait ,OeO et que nous écririons 99,990,000. Certains auteurs, au lieu du M, initiale de N.upt«s, employaient les deux premières lettres de ce mot mu. On cite entre autres Diophante et Pappus. Les mêmes auteurs, lorsque le nombre dépasse 10,000, posent un point entre les unités de myriades et celles de l'ordre immédiatement inférieur. Ainsi, Sto(3.,119 valaient 4,372 myriades, 8097 unités, c'est-àdire 43,728,097 '. Lorsqu'un ordre d'unités est vacant, les Grecs le remplacent quelquefois par un trait vertical 1 8; exemple : 10,098 M ço ; ou bien par le mot oucs,, comme Théon le commentateur de Ptolémée, ou bien encore par un simple point, comme Ptolémée lui-même Archimède a écrit un petit traité (I 4oat.u(Tt1s, -dans les traductions latines : De numero arenae) qui nous est parvenu, sur le nombre de grains de sable que pourrait contenir une sphère qui aurait pour diamètre la distance de la terre aux étoiles fixes; l'auteur lui donna, pour simplifier, le titre de Yaµui'cls, l'Arénaire, Arenarius (liber). Ayant à opérer sur des nombres qui dépassaient la myriade de myriades, il imagina des classes doubles comprenant huit chiffres au lieu de quatre, c'est-à-dire des huitaines on octades de chiffres (ôxr«Sus). La première octade comprenait les nombres 1 à 99,999,999 ; la deuxième, les nombres qui partent de cent millions, etc. Les nombres étaient premiers, seconds, etc., selon qu'ils appartenaient à la première octade, à la seconde, etc. Archimède suppose le cas où l'on atteint cent millions de ces octades ; on entre alors dans la deuxième période rcepiolos, puis dans une troisième, dans une quatrième, et ainsi successivement jusqu'à la période myrio-myrionième, ptuptaxtap.uptoari, dont la première unité s'exprimerait par le chiffre 1 suivi d'un nombre de zéros dont nous essaierons de donner l'idée en rappelant que l'unité des nombres premiers de la deuxième période est 108 élevé à la puissance morio-myrionième, c'est-à-dire l'unité suivie de huit cents millions de zéros 10. Il n'en faut pas davantage pour faire voir à quel degré les mathématiciens grecs ont poussé l'étude et les applications de l'arithmétique. Archimède avait composé sur cette science un Traité des principes auquel il a fait dans son Arénaare des emprunts importants. Quant à la conclusion fondamentale de ce dernier traité, c'est que le nombre de grains de sable que contiendrait la sphère du monde est plus petit que le huitième terme de la huitième octade, ou que le soixante-quatrième terme de la progression décuple 10, 100, 1,000, etc., c'est-à-dire que l'unité suivie de soixante-quatre zéros. On attribue au même mathématicien l'énoncé d'un problème•arithmétique qui nous a été conservé sous la forme d'un epz'yramma de quarante-quatre vers, publié pour la première fois avec des scholies grecques par Lessing ", et une seconde avec un commentaire par les Struve père et fils '". God. Hermann y reconnut le premier le fameux problème des boeufs, rpébar;ua poetxév, que le scholiaste de Platon a mentionné u comme étant d'Archimède n. En voici les données principales. On suppose quatre troupeaux de taureaux, boeufs et vaches, dont le premier comprend des animaux blancs, le deuxième des noirs, le troisième des roux, et le quatrième des tachetés ou bigarrés. Ces divers animaux sont dans chaque troupeau en nombres exprimés par des fractions du nombre total de tètes comprises dans ce même troupeau. De plus, les taureaux blancs et noirs forment ensemble un nombre carré; les roux et les bigarrés forment ensemble un nombre triangulaire, c'està-dire un nombre obtenu au moyen de la multiplication de leur nombre respectif par leur différence. M. Vincent a complété la solution de ce curieux problème'', qui montre sous une face particulière le génie du grand mathématicien qui l'a proposé et du peuple subtil dont Archimède est la plus grande gloire scientifique. Mais revenons à l'exposé de la science des nombres. 3' ART r-= ARt Delambre i6 résume en deux mots l'arithmétique des Grecs, lorsqu'il observe que leur notation ressemblait à celle que nous employons pour les nombres complexes. Il ajoute avec non moins de raison que leurs nombres complexes avaient un avantage sur les nôtres dans l'uniformité de l'échelle qui était toute décimale ou toute sexagésimale. Ils faisaient leurs opérations de gauche à droite. Ces opérations se réduisaient, comme de nos jours, à quatre, Ils considéraient les proportions (âva)soy(ut), arithmétique ou par différence ; géométrique ou par rapport; et harmonique, dans laquelle l'excès (ûitepoxi) du premier terme sur le premier moyen a le même rapport avec l'excès du second sur le deuxième moyen que le premier terme avec le quatrième. Ils distinguaient la moyenne arithmétique, geedT11ç 4 grlTtx (par ex. 1 : 2 :: 2: 3) ; la moyenne géométrique (2 : 4 : : 4 : 8), et la moyenne harmonique 6(=8s) : 8 : : 8 : 12 (=8 + 13), laquelle dépasse le premier extrême et est dépassée par le dernier d'une même portion, qui dans notre exemple est le tiers, ou, pour employer le langage de l'algèbre, moyenne dans laquelle, étant donnée la propor tion A : B :: B : C, on a B=--À+'-',=C-°1B A ces trois moyennes dont Jamblique 20 attribue la pratique à Pythagore et à ses disciples, Eudoxe de Cnide, contemporain de Platon, et les mathématiciens de la même époque ajoutèrent trois autres moyennes dont M. Nesselmann a rapporté le détail avec celui de quatre autres subséquentes "]. En voici la simple nomenclature : 4e 6.5::5:3 5°5: 4::4:2 6°6:4::4:1 7e 9: 8::8:6 8'9:7::7:6 9°7:6::6: 1. IO° 8 : 5 :: 5 : 3 Cette grande variété de moyennes numériques servait principalement à définir les rapports des sons dans la musique mathématique [HARMONIQUE). Les Grecs calculaient le carré des nombres, ce qui s'appelait TiTpaywv(sla et leur cube xuê(ety. Quant à l'extraction de la racine carrée, on a lieu de croire qu'elle se faisait de la même manière qu'aujourd'hui. 11 paraît 22 que le second livre de Pappus était en entier consacré à l'explication de ce qu'Apollonius de Perge avait fait de nouveau en arithmétique : peut-être le premier contenait-il les règles de l'arithmétique vulgaire. Voyons comment les Grecs anciens expriment, soit par des mots, soit par des chiffres alphabétiques, les principales fractions. 1. Commençons par les sous-multiples, ao)aoaTlIgtipta, tnultesirna, c'est-à-dire par les fractions plus petites que l'unité et qui ont 1 pour numérateur. Voici les noms grecs et latins de quelques-unes de ces fractions, de celles qui ont les plus petits dénominateurs. n 4tau, dimidium, FxTOV ou 1 xrrl gdptov, sextans, MSogov ou ÉaTagôptov, septimo pars, ôyioov, octons, â , et de même, évvnTov, s , A l'exception de la fraction , dont le signe grec est 2, ou , les fractions dont le numérateur est 1 sont représentées par le chiffre alphabétique grec du dénominateur, mais surmonté d'un accent à droite. Par exemples est représenté paré et s par 23. Quand le numérateur, in férieur au dénominateur, est supérieur à l'unité, on exprime ce numérateur devant le sous-multiple : éo TptTrI1e pta, deux tiers, Tpia É7rrap.6pta, trois septièmes. Pour représenter ces fractions, le chiffre du dénominateur avec un accent à droite s'écrit au-dessus de celui du numérateur surmonté d'une barre, ou bien le chiffre du dénominateur s'écrit simplement au-dessus de celui du numérateur. Ainsi Pa ou biens signifient 19. Mais plus souvent on décompose la fraction en deux ou plusieurs fractions dont chacune a pour numérateur 1 : par exemple, on décompose 84 en s et ea représentés par /„ S'. Quelquefois on arrive à cette décomposition au prix d'une petite inexactitude; par exemple, Eutocius décompose 84 en 4 et 15, représentés par ç', ii, en négligeant 9so en moins 44. II. Passons aux nombres fractionnaires plus grands que l'unité. Ces fractions, dont le numérateur surpasse le dénominateur, se représentent en grec soit comme les autres fractions, en mettant le chiffre du dénominateur au-dessus de celui du numérateur, soit en mettant à la suite du chiffre représentant l'unité ou les unités comprises dans le nombre fractionnaire, le chiffre de la fraction qui existe en plus. Ainsi .3 sont représentés par ou bien par a}', et s par ou bien par y Z. Mais, dans le langage, il y a pour certains nombres fractionnaires plus grands que l'unité des expressions spéciales qu'il est bon d'indiquer. 1° Nicomaque 26 et Boèce 26 nomment nombres superpartients (É7rip.epeiç âptOgo(, superpartientes numeri), les numérateurs dans lesquels Ies dénominateurs sont contenus une fois plus une fraction quelconque. Quand cette fraction excédante a pour numérateur 1, ils nomment i lydptot, superparticulares, les numérateurs des fractions primitives, et alors il y a des mots spéciaux pour désigner ARI _ ° 428 AR-I dans ces fractions les rapports des numérateurs aux dénominateurs. Ces mots sont par exemple : ietdaLOç (de let, S7,ov, un demi, un entier), sesquialter, l = f 4 ixcirptroç (Tp(roV, tiers, i7rl, en plus), sesquitertius, 1 s = s , EadySooç (ôySoov, huitième, É7f, en plus), sesquioctavus, 1 ~1 = ~9, é7LÔExaroç (Séxarov, dixième, L,i, en plus), 1 = ' Les neutres de ces adjectifs désignent la valeur du nombre 2° Quant aux nombres fractionnaires qui contiennent plusieurs entiers, plus une fraction dont le numérateur est 1, les Grecs ont aussi des expressions spéciales pour quelques-uns d'entre eux. Par exemple, ils disent : `lj;vcau TpiTOV, ou r11J.ca6TpvTOV (un demi, 3', après deux entiers), 4°, aprèstroisentiers),1 +1 + 1-E = 2 29 É'SOU.OV f,uLT&Àavrov (un demi-talent, 7e, après 6 talents), 6 talents so Quant aux puissances des nombres, les Grecs nommaient TaTpyotvoç (dpieu6ç), carré, ce que nous nommons 2' puissance ou carré d'un nombre, et ils nommaient xuôoç, la 3° puissance ou cube. Mais quelquefois ils donnaient aussi à la 2° puissance le nom de Stivautç, et le verbe Suvcccûzi, avec un nom de nombre pour complément direct, signifiait avoir pour carré ce nombre, comme on le voit dans Platon 31 Ainsi, pour dire que 22 = 4, au lieu d'employer le mot Tarpycovoç, on disait quelquefois, soit : Tà Sdo Tk Sdo SdvaTat T€TTapa ; et de même, pour dire que 32+ 4' = 5', TéTTapat. C'est pourquoi, appliquant à la géométrie ces expressions arithmétiques, on disait, en parlant de l'angle droit d'un triangle rectangle, par exemple du triangle dont les côtés sont entre eux comme les nombres 3, 4 et 5, que l'hypoténuse de cet angle Laov SGvzTsi Taîç 7teptex01Saatç, d'un carré égal à ceux des deux côtés qui le comprennent32 Les Grecs connaissaient-ils l'algèbre? Ils ignoraient celle dans laquelle les quantités connues elles-mêmes sont représentées par des lettres choisies arbitrairement. Mais ils n'ignoraient pas une algèbre dans laquelle les inconnues seules étaient ainsi représentées. Ils n'avaient pas de mot spécial pour désigner cette partie de l'arithmétique ; mais Diophante, mathématicien d'Alexandrie, avait composé une arithmétique en treize livres, dont il nous reste les six premiers et dans laquelle figure un véritable système de méthodes algébriques, notamment la résolution des équations. A ce point de vue, la logistique faisait le sujet de son ouvrage, ainsi que l'a remarqué Nesselmann 33, De plus, comme Diophante enseigne particulièrement la résolution des équations indéterminées, ses démonstrations se rattachent plutôt à la théorie des nombres, et l'auteur lui-même a pu, à bon droit, employer le mot grec qui désigne cette théorie, piOUnTtxs . Peut-être ne sera-t-il pas sans intérêt de faire connaître ici la terminologie employée par Diophante dans la partie de son ouvrage consacrée à l'analyse 34. Il désigne l'inconnue par le stigma surmonté d'un accent ç' ou ç°', et la nomme en toutes lettres le nombre, è pIOudç 99; le signe est redoublé çç, si le coefficient de l'inconnue est supérieur à l'unité. Le carré de l'inconnue est appelé puissance, è vaµtç, terme qui, dans Euclide, désignait déjà le carré numérique et dont le signe est S5; le cube de l'inconnue est appelé cube, zMoç ; il a pour signe x'7 ; la 4° puissance de l'inconnue est appelée Suva uo1 vautç, comme qui dirait, carré du carré, et représentée par le signe SSl ; la 5° puissance, Suvaudxueoç, comme qui dirait, cube du carré, Sx°; la 6 xubdxudoç, cube du cube, xx4. Diophante n'a pas besoin d'aller plus loin ; ainsi le mot à vautç désigne plus spécialement le carré de l'inconnue : le carré d'un nombre connu garde habituellement le nom de TFTpytsvoç. La multiplication n'a pas de signe particulier : l'opération se fait quand elle est praticable ; dans le cas contraire, le coefficient de l'inconnue se place immédiatement après le signe ç ou çç; par exemple çs signifie 7x; SGe, 9x3, etc. La division est dans le même cas; si elle ne donne pas un résultat exact, on obtient nécessairement et l'on exprime un nombre fractionnaire. L'addition s'énonce par la simple succession des nombres qui doivent former une somme ; seulement le nombre d'unités connues est toujours précédé du signe ua, abréviation du mot uovç, unité. Enfin la soustraction a pour signe le lt retourné ou rh, qui est une abréviation de )saitltti, datif de ),tîslitç, auquel est affectée la signification de notre moins. La )seî4LCt marque donc le plus petit des deux termes d'une soustraction. Voici un spécimen du langage numérique employé par Diophante 38, avec la traduction en signes modernes : On voit que tous les termes formant la partie positive (ibrap bç) sont réunis dans la première portion de l'équation ; par suite, les termes négatifs forment un second groupe, ),Eî4tu, séparé du premier par le 4t retourné, et dont par suite les différents membres n'ont pas besoin de recourir à ce même signe pour être déduits les uns des autres. Avec les mots énumérés plus haut, Stivautç, xLiboç, etc., on a formé des adjectifs ordinaux employés substantivement à titre de dénominateurs : tels sont les mots : Tb Suva enfin Tô xuboxueo,Tdv. L'inconnue ainsi désignée est le dénominateur d'une fraction qui a pour numérateur les nom bres connus placés à sa suite; exemple : ptep.omniv 5.55 ' R' Diophante abrége encore de la manière suivante : u° 6 42 q" as", 9 . Lorsque les calculs se compliquent, il ne place pas le ARf- dénominateur un peu au-dessus du numérateur, mais simplement à la suite, eu les séparant l'un de l'autre par les mots iv µop(\° ou v.op(ov. Exemple : St u. µopiou â' «;6; z ,:+s Quant à notre signe d'égalité = qui sépare les deux termes (1épl, iaoiaail) d'une équation, il n'a pas son équivalent chez les Grecs, qui rendent l'idée par l'emploi pur et simple du mot taos. Avant de quitter l'arithmétique des Grecs et sans attendre le moment de nous arrêter sur la question de l'abacas numéral, rappelons que M. Rangabé a signalé, en 1846, la découverte, dans l'île de Salamine, d'une table de marbre longue de large de 0',75, dont il a été donné ailleurs n une description détaillée et une représentation, et à laquelle on a cru pouvoir assigner le double rôle d'une table à calcul et d'un échiquier comparable à notre jeu de trictrac. Voy. à l'article ABACUS, p. 2, fig. 3. Arithmétique cher les Romains.Leur système de numération n'avait rien de particulier. Cependant il y a lieu de croire, d'après les recherches de M. Chasles", qu'ils procédaient par séries ternaires et non quaternaires comme les Grecs. « La nomenclature, dit-il, dans le système de l'abaeus, dès le temps de Boèce, se réduisait aux termes unités, dizaines, centaines et mille qu'on répétait indéfiniment. Par conséquent, mille devenait l'unité d'une nouvelle classe comprenant mille, dix mille, cent mille, et ainsi de suite. La numération écrite n'avait que cinq signes dont quelques-uns représentaient, suivant une remarque faite seulement de nos jours 39, les diverses dispositions des doigts; tels sont les chiffres 1 (1), v (5), x (10), formés de 2 v réunis par leurs pointes ; venaient ensuite c (50), c (100), I9 (500) devenu depuis o et ci (1,000) ou si. On voit que dans ce système, pas plus que dans celui des Grecs, aucune part n'est faite à la position relative des chiffres entre eux, à part cette circonstance que tel chiffre placé devant un chiffre supérieur ôte à celui-ci la valeur du premier. Exemple : iv = v moins t. Les fractions, dans l'arithmétique commerciale des Romains, étaient toujours rapportées àl'as qui donnait son nom à l'entier quel qu'il fût, et se divisait en douze parties égales appelées onces, ermite; 16 as formaient un denier, denarius. Quant aux sous-multiples de l'as ou de l'unité qu'il représente, on vient de voir quelques-unes de leurs dénominations parmi les fractions décomposées du denier ; en voici le tableau complet : On exerçait les jeunes gens à opérer sur ces fractions pour les rompre aux variétés du système duodécimal combiné avec les '16 parties du denier. Lorsque l'opération portait sur les sous-multiples de cette dernière unité, la quantité monétaire s'appelait aes excurrens, comme qui dirait petite monnaie". Si l'on opérait sur le denier ou ses multiples, on était dit con ficere rationem. ad denariunt 41, ou bien, ad denarium solce7'e 42 ; dans ce cas on commençait par écrire le nom, notnert, du denier, sous la forme suivante  43 Horace fait allusion à cette étude 44: Il ne faut pas voir là une division de l'as en cent parties, comme on l'a fait souvent, mais un calcul de l'intérêt produit en un an ou en un mois par cent as ou cent unités monétaires quelconques 45. Revenons maintenant sur )'usage que les Grecs et les Romains firent de l'abaque(àbai, «bxtov46,abacas), [ABACUS, 11]. Tantôt c'était une simple tablette sur laquelle on jouait aux dés ç7, affectant probablement la forme de notre jeu de trictrac; tantôt un tableau que l'on recouvrait de poussière ou de sable pour construire des figures géométriques 4s ou tracer des nombres 4a ; tantôt enfin une table à calcul (Tpre,ct aoylaTrp(a 50), qu'on pose à plat et qui est munie de lignes ou de triangles dirigées d'avant en arrière et sur lesquelles circulaient des boules dont la valeur et la signification variaient suivant le but de l'opération à faireB1 C'est le lieu de s'arrêter sur un point de l'histoire des nombres qui marque la transition entre la pratique ancienne du calcul et celle que nous a léguée le moyen âge. Boèce nous a transmis 52, d'après un géomètre latin qu'il appelle Archytas, une description de l'abacas tel qu'il était disposé de son temps. Il paraît que ce nom lui avait été donné vers le ile siècle et que la table arithmétique s'appelait antérieurement table de Pythagore, rnensa pythagorea. De là nous est venu l'usage fort impropre de nommer ainsi la table de multiplication. « Le système de Boèce, dit M. Chasles 53, ne différait de notre système actuel que dans la pratique et en un seul point, l'absence du zéro. Cette figure auxiliaire y était suppléée par l'usage de colonnes tracées sur le tableau, qui, eu marquant distinctement les différents ordres d'unités, tu b Al -_ 430 ARI permettait de laisser la place vide partout où nous mettons un zéro. » Le système de numération prit luimême le nom daabacus que Boèce avait appliqué au tableau. Ce système est identiquement le môme que celui qui a été cultivé aux x° et m° siècles par Gerbert et ses disciples. L'abacus consistait en colonnes verticales, paginulae, en haut desquelles on écrivait, en allant de droite à gauche, les nombres I, X, C, M, XM, CM, MM; la première recevait les unités , la deuxième les dizaines, la troisième les centaines, la quatrième les mille, et ainsi des autres. Au-dessous viennent les noms de ces nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, représentés dans Boèce par des apices ou signes dont l'analogie avec nos chiffres, dits à tort arabes, a été signalée par M. Chasles et par M. Vincent. Voici les apices de Boèce avec leurs noms et leurs valeurs : Un deux trois quatre cinq six sept huit neuf lgin Andras Orrais Arbas Quimas Cadis Zenis Temenias Calentis Ces noms sont donnés par Gerbert, mais il ne s'en sert pas, tandis que Gerland et Radulphe de Laon les introduisent dans leurs explications de l'abacus. Un dixième signe O appelé sipos figure dans les manuscrits de Boèce (seulement dans le tableau) et dans le texte postérieur relatif à l'abacus. Nous reviendrons tout à l'heure sur ce signe. M. Vincent, dans un travail 64 qui complète les recherches de M. Chasles, attribue aux noms qui accompagnent les apices de Boèce des étymologies très-plausibles qu'il emprunte au grec et à l'hébreu (aucune à l'arabe), et dont le caractère néopythagoricien et gnostique fait bien voir que le 1°A ou le 41° siècle après notre ère est l'époque où ces dénominations furent introduites dans l'arithrnétique. Boèce expose en quelques lignes la manière d'employer l'abacus 55. Le chiffre des unités (singularis), multiplicateur d'un chiffre de dizaines (deceni), placera les unités de son produit (cligiti, T.ulgéveç) dans la colonne des dizaines et les dizaines de son produit «vâXo'ot (articuli), dans la colonne des centaines. Tel est, on le voit, le principe de la numération écrite chez les modernes. Il faut remarquer en passant, la signification ton te spéciale que reçoivent ici les mots digiti et artieull, Prenons dans les textes du ntoycn âge un exemple de la manière d'employer l'abacus. Nous l'empruntons à un anonyme découvert, publié, traduit et commenté par M. Chasles 56. Soit 4,600 à multiplier par 23. La division se faisait également, avec la même table, en observant toujours la précaution de maintenir chaque ordre d'unités dans la colonne qui lui est affectée. Il en est de même de l'addition et de la soustraction. Le zéro était en usage clans l'arithmétique grecque et romaine sous la forme de l'omicron pour marquer la place des degrés, minutes et secondes qui manquent dans l'expression d'un nombre astronomique. I1 a été introduit sous le nom de sipos, selon M. Chasles, par quelques disciples de Gerbert, au xe ou au xi° siècle, puis sous celui de c fra (Tù'u px dans Planude), en hébreu , couronne, enfin sous celui de zéro, en hébreu , petit rond, en latin rotula. Mais nous dirons avec M. Vincent que l'introduction du zéro dut coïncider avec l'emploi du mot algorisme et que par conséquent ce signe n'apparut sans doute que vers le milieu du trie siècle, époque où les colonnes verticales sont supprimées ainsi que la table couverte de poudre, laquelle est remplacée par le papier ou la membrane de parchemin en arabe gour et, avec l'article, al-gohr. Au premier abord on pourrait s'étonner de voir le passage de Boèce relatif à l'abacus, placé dans son traité De geometria dont il termine le premier livre. M. Chasles 5, a justifié cette apparente anomalie en faisant la remarque que le second livre de ce traité a pour sujet la géométrie pratique, l'art des grornatici ou arpenteurs romains. Il ajoute que son traité De arithntetica ne présente aucune méthode pratique et qu'il ne roule que sur l'arithmétique spéculative, comprenant, comme l'arithmétique de Nicomaque dont il est une sorte de traduction-paraphrase, les propriétés des nombres avec la théorie des diverses espèces de proportions. Dans les écrivains latins des me et xu° siècles, on rencontre le verbe abacizare 58. Indépendamment des représentations de l'abacus irisérées dans là géométrie pratique de Boèce, on connaît quatre exemplaires en nature de cet appareil '6 : le Abacus métallique, ayant appartenu à Veiser a0 ; 2° abacus romain ayant appartenu à Ursinus 61; 30 abacus romain aujourd'hui au musée Kircher 62 (V. ci-dessus p. 2, fig. 2, au mot ABACuS); 4° abacus romain aujourd'hui au cabinet des médailles de Paris 63. Pour l'emploi mécanique et les variétés de l'instrument, nous renvoyons à l'article A13ACLS. Nous nous bornerons ici à expliquer sommairement la figure de l'abacus que nous reproduisons (fig. 521) d'après Gruter, en renvoyant, pour plus de développements, à un travail ARI /p31 AR\ spécial de M. Vincent accompagné de la même représentation. L'abacus en question consiste en une plaque de métal percée de rainures oblongues dans lesquelles glissent à frottement des boutons ou clous à deux têtes. Toutes les rainures inférieures, excepté la première à droite sur laquelle nous allons revenir, portent quatre boutons qui, éloignés de la rainure supérieure, sont au repos et, rapprochés de celle-ci, valent chacun une unité de l'ordre déterminé par le rang de la rainure. Le signe I indique la rainure affectée à l'ordre des unités, X, celle des dizaines, et ainsi de suite. Quant à la rainure notée 0, ses boutons, qui sont au nombre de six, valent chacun un douzième d'unité ou d'as, c'est-à-dire une once. Les rainures supérieures portent chacune un bouton qui, éloigné de la rainure inférieure correspondante, est au repos, mais, rapproché de celle-ci, vaut cinq fois chacune (les unités qu'elle exprime. Toutefois le bouton de la dernière rainure supérieure a une valeur sextuple de l'once représentée par chacun des boutons de la rainure correspondante. Les trois petites rainures servent à l'expression de la demi-once, du quart d'once et du tiers d'once. M. Th. H. Martin n croit que l'abacus fut inventé par des Grecs d'Alexandrie, qui trouvèrent dans le système numératif de l'Égypte les chiffres tels qu'ils sont reproduits par Boèce, et sans valeur de position, mais « surtout au profit des peuples latins, qui en avaient grand besoin à cause de l'incommodité de leur numération. » D'autre part, les Arabes empruntèrent aux Indiens un système de numération semblable au nôtre quant à la valeur de position donnée aux chiffres et à l'emploi d'un signe pour marquer l'absence d'un ordre d'unités. Le même savant éa pense avec Al. de Humboldt et Reinaud que ce système fut pratiqué dans l'Inde dès le ve siècle de notre ère, que les Arabes le leur empruntèrent définitivement vers le vnle, et que la méthode de 1'abacus a fini, en se perfectionnant, par se fondre avec la méthode indienne importée par les Arabes. M. Vincent a publié et traduit un texte emprunté par un compilateur byzantin aux Cestes de Jules l'Africain e7 et contenant, sur la manière de transmettre télégraphiquement des indications numériques par des feux allumés de distance en distance, une explication d'après laquelle le chiffre placé à la droite de l'observateur était une unité, le deuxième à gauche une dizaine, le troisième une centaine, etc. Il est difficile de croire, quoi qu'en dise M. Martin, que cette invention ne se rattache que de loin à l'emploi de l'abacus, avec lequel son analogie est manifeste.